Question

【题目】如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．

（1）求证：AB＝AD；

（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；

（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）不发生变化，

【解析】

（1）先判断出△AOB≌△AOC（SAS），得出AB＝AC，即可；

（2）过A作AM⊥BD于M，再判断出△ADM∽△FDA可求AD＝，则CD＝；

（3）不变，过D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，再证△DHA≌△AOC（AAS），得DH＝AO，AH＝OC，进而得出HO＝BQ，所以DQ＝BQ，即△DBQ为等腰直角三角形即可．

（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，

∴OB＝OC，

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC（SAS），

∴AB＝AC，

∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，

∴AD＝AC，

∴AB＝AD；

（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，

由（1）知，AB＝AD，

∴DM＝BD，

∵BF＝4，DF＝6，

∴BD＝10，

∴DM＝5，

∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，

∴△ADM∽△FDA，

∴，

∴，

∴AD＝，

在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；

（3）的值是不发生变化，

理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，

∴∠AHD＝90°＝∠COA，

∴∠ADH+∠DAH＝90°，

∵∠CAD＝90°，

∴∠CAO+∠DAH＝90°，

∴∠ADH＝∠CAO，

∵AD＝AC，

∴△ADH≌△ACO（AAS），

∴DH＝AO，AH＝OC，

∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，

∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，

又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，

∴DQ＝BQ，

∴△DBQ为等腰直角三角形，

∴∠DBQ＝45°，

∴∠DEH＝∠BEO＝45°，

∴sin∠DEH＝，

∴＝，

∴，

∴．