Question

如图，已知抛物线y=

3

8

x²-

3

4

x-3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线对称轴上，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）令y=0，解方程

3

8

x²-

3

4

x-3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=-3，可确定C点坐标；
（2）找到点D关于抛物线对称轴的对称点A，连结AC，根据待定系数法可得直线AC的解析式，令x=1，求得抛物线对称轴与直线AC的解析式的交点坐标，即为所求点M的坐标；
（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP₁，确定梯形ABCP₁．此时P₁与D点重合，即可求得点P₁的坐标；②若AB∥CP₂，确定梯形ABCP₂．先求出直线CP₂的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P₂的坐标．

解答：解：（1）∵y=

3

8

x²-

3

4

x-3，
∴当y=0时，

3

8

x²-

3

4

x-3=0，
解得x₁=-2，x₂=4．
当x=0，y=-3．
∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，-3）；

（2）如图1，连结AC．
∵点D关于抛物线对称轴的对称点A，
∴由轴对称-最短路线问题可知，抛物线对称轴与直线AC的解析式的交点坐标，即为所求点M的坐标，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵A点坐标为（4，0），C点坐标为（0，-3），
∴

4k+b=0 b=-3

，
解得

k= 3 4 b=-3

．
故直线AC的解析式为：y=

3

4

x-3，
令x=1，则y=

3

4

x-3=-

9

4

．
故点M的坐标（1，-

9

4

）；

（3）结论：存在．
在抛物线上有两个点P满足题意：
①如图2，若BC∥AP₁，此时梯形为ABCP₁．
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P₁与D点重合，
∴P₁（-2，0）．
∵P₁A=6，BC=2，
∴P₁A≠BC，
∴四边形ABCP₁为梯形；
②如图3，若AB∥CP₂，此时梯形为ABCP₂．
∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，-3），
∴直线AB的解析式为y=

3

2

x-6，
∴可设直线CP₂的解析式为y=

3

2

x+n，
将C点坐标（0，-3）代入，得n=-3，
∴直线CP₂的解析式为y=

3

2

x-3．
∵点P₂在抛物线y=

3

8

x²-

3

4

x-3上，
∴

3

8

x²-

3

4

x-3=

3

2

x-3，
化简得：x²-6x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=6，
∴点P₂横坐标为6，代入直线CP₂解析式求得纵坐标为6，
∴P₂（6，6）．
∵AB∥CP₂，AB≠CP₂，
∴四边形ABCP₂为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（-2，0）或（6，6）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，轴对称-最短路线问题，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．