Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：∠PCB=∠A；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求证：AM²=MN•MC．

Answer 1

证明：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠A；

（2）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线；（3分）

（3）连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴弧AM=弧MB
∴∠BCM=∠ABM（同圆中，相等的弧所对的圆周角相等），
∴△MBN∽△MCB．
∴BM²=MN•MC．
∴AM²=MN•MC．