Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．

（1）求证：DF是⊙O的切线．

（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DF=.

【解析】

（1）可证得BD是⊙O的直径，∠BCE=∠BDE，则∠BDE+∠FDE=90°，结论得证；

（2）先求出AC长，再求DE长，在Rt△BCD中求出BD长，在Rt△BED中求出BE长，证得△FDE∽△DBE，由比例线段可求出DF长．

解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，

∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，

∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠BDE+∠FDE＝90°，

即∠BDF＝90°，

∴DF⊥BD，

又∵BD是⊙O的直径，

∴DF是⊙O的切线．

（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝2×4＝8，

∴，

∵点D是AC的中点，

∴，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB＝90°，

∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，

∴，

在Rt△BCD中， ，

在Rt△BED中，，

∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，

∴∠FDE＝∠DBE，

∵∠DEF＝∠BED＝90°，

∴△FDE∽△DBE，

∴，即，

∴.