Question

如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA，OB（OA＜OB）的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，C（0，3），且S_△ABC=6
（1）求∠ABC的度数；
（2）过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标；
（3）在第（2）问的条件下，y轴上是否存在点P，使∠PBA=∠CAB？若存在，请直接写出直线PD的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先依题意求出OC=3，又因为|OA|+|OB|=4m求出m值，求出方程为x²-4x+3=0，解方程即可知道点A，B的坐标，然后判断出△OBC是等腰直角三角形，求出∠ABC=45°；
（2）依题意证明△AOC∽△COD，利用线段比

AO

CO

=

OC

OD

，求出OD的长，然后求出点D的坐标；
（3）如图可得，y轴存在点P使得∠PBA=∠CAB，点P可以在y的正或负半轴上．

解答：解：（1）∵点C（0，3），
∴OC=3，
∵S_△ABC=6，
∴

1

2

×AB×OC=6，
∴|AB|=4，
∵|OA|+|OB|=4m，
∴4m=4，m=1，
∴方程可化为：x²-4x+3=0
解得：x₁=1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；

（2）∵∠AOC=∠ACD=90°，∠CAO=∠DCO，
∴△AOC∽△COD，
∴

AO

CO

=

OC

OD

，
∴OD=9，
∴D（9，0）；

（3）存在．
过点B作P″B∥AC，
∵直线AC的解析式为：y=3x+3，
∴直线P″B的解析式为：y=3x-9，
∴P″点的坐标为：（0，-9），
根据对称性也可为（0，9），
∴直线PD的解析式为：y=-x+9或y=x-9．∠PBA=∠CAB，

点评：本题综合考查的是一次函数的性质及其应用，还考查了面积公式及用待定系数法求函数解析式．