Question

14．如图所示，已知射线AM∥BN，∠MAB=α，F是射线BN上的一个动点，作AE平分∠BAF交BN于E，作AD平分∠MAF交BN于D．
（1）求∠EAD的度数（用含α的代数式表示）；
（2）在∠EAD=∠B的条件下，在F点运动的过程中，如果△AEF恰好是直角三角形，求此时∠ADB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可知“∠BAE=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAF，∠FAD=∠DAM=$\frac{1}{2}$∠FAM”，结合角之间的关系即可得出∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAM，从而得出结论；
（2）根据平行线的性质结合∠EAD=∠B，可求出∠B和∠MAB的度数．按两种情况来考虑△AEF是直角三角形，通过角的计算可得出∠MAD的度数，结合平行线的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵AE平分∠BAF，AD平分∠MAF，
∴∠BAE=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAF，∠FAD=∠DAM=$\frac{1}{2}$∠FAM，
∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=$\frac{1}{2}$（∠BAF+∠FAM）=$\frac{1}{2}$∠BAM=$\frac{1}{2}$α．
（2）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠B=180°．
∵∠EAD=∠B=$\frac{1}{2}$∠MAB，
∴∠B=60°，∠MAB=120°．
△AEF是直角三角形分两种情况：
①∠AFE=90°．
∵∠B=60°，
∴∠BAF=90°-60°=30°，
∠MAF=∠MAB-∠BAF=90°．
∵AD平分∠MAF，
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠MAF=45°．
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠MAD=45°；
②∠AEF=90°．
∵∠B=60°，∠MAB=120°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°，
∠MAF=∠MAB-∠BAF=60°，
∵AD平分∠MAF，
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠MAF=30°．
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠MAD=30°．
综上可知：在F点运动的过程中，如果△AEF恰好是直角三角形，此时∠ADB的度数为45°或30°．

点评 本题考查了平行线的性质、角平分线定义以及角的计算，解题的关键是：（1）根据角平分线的定义找出∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAM；（2）求出∠MAD的度数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，合理的利用角的计算及平行线的性质定理是关键．