【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,M,N分别AB上的两动点,且∠MCN=45°,下列结论:①;②CM2﹣CN2=NBNA﹣MBMA;③AM2+BN2=MN2;④S△CAM+S△CBN=S△CMN,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
①由勾股定理即可得;
②过点C作CD⊥AB于D,由等腰直角三角形性质可得AD=BD=CD,再由勾股定理即可得CM2-CN2=NBNA-MBMA;
③过点B作BM′⊥AB,使BM′=AM,连接CM′,M′N,可证:△CBM′≌△CAM,△M′CN≌△MCN,再由勾股定理可得:M′B2+BN2=M′N2,即AM2+BN2=MN2;
④由全等三角形面积相等可知:S△CBM′=S△CAM,S△CNM′=S△MCN,即可得S△CAM+S△CBN>S△MCN.
解:①在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,
ABAC,
故①正确;
②如图1,过点C作CD⊥AB于D.
∵∠ACB=90°,CA=CB,CD⊥AB,
∴AD=BD=CD
CM2=CD2+MD2,CN2=CD2+DN2,
∴CM2﹣CN2=MD2﹣DN2=(MD+DN)(MD﹣DN)=MN(MD﹣DN)=MN(MB﹣NA)
∵NBNA﹣MBMA=NBNA﹣MB(NA﹣MN)
=MBMN+NBNA﹣MBNA
=MBMN﹣NA(MB﹣NB)
=MBMN﹣NAMN
=MN(MB﹣NA),
∴CM2﹣CN2=NBNA﹣MBMA
故②正确;
③如图2,过点B作BM′⊥AB,使BM′=AM,连接CM′,M′N,则∠ABM′=90°
∵∠ACB=90°,CA=CB,
∴∠A=∠ABC=45°,
∴∠CBM′=45°=∠A
在△CBM′和△CAM中
,
∴△CBM′≌△CAM(SAS),
∴CM′=CM ∠BCM′=∠ACM,
∴∠M′CN=∠BCM′+∠BCN=∠ACM+∠BCN=∠ACB-∠MCN=90°-45°=45°=∠MCN
在△M′CN和△MCN中
,
∴△M′CN≌△MCN(SAS),
∴M′N=MN
在Rt△M′BN中,∠M′BN=90°,M′B2+BN2= M′N2,
∴AM2+BN2=MN2
故③正确;
④如图2.
∵△CB M′≌△CAM,△M′CN≌△MCN,
∴S△CBM′=S△CAM,S△CNM′span>=S△MCN,
∴S△CAM+S△CBN=S△CBM′+S△CBN=S△CNM′+S△BNM′=S△MCN+S△BNM′>S△MCN,
故④错误.
故选:C.
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【题目】如图,A,B,C为一个平行四边形的三个顶点,且A,B,C三点的坐标分别为(3,3),(6,4),(4,6).
(1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标;
(2)求这个平行四边形的面积.
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【题目】如图,将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2013次,点P依次落在点的位置,记,则P2013的横坐标x2013=______;如果,则______(请用含有n的式子表示).
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【题目】一个装有进水管和出水管的容器,从某时刻开始4min内只进水不出水,在随后的8min内既进水又出水,接着关闭进水管直到容器内的水放完,每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示.
(1)当4≤x≤12时,求y与x的函数解析式;
(2)每分进水、出水各多少升?
(3)第 分钟时该容器内的水恰好为10升.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4交y轴于点A,与直线BC相交于点B(-2,m),直线BC与y轴交于点C(0,-2),与x轴交于点D.
(1)求点B坐标;
(2)求△ABC的面积
(3)过点A作BC的平行线交x轴于点E,求点E的坐标;
(4)在(3)的条件下,点p是直线AB上一动点且在x轴上方,Q为直角坐标平面内一点,如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC面积请求出点P的坐标.并直接写出点Q的坐标.
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【题目】如图,在坐标系中放一矩形OABC,AB=2,OA=1,现将矩形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转,每次翻转90°,连续翻转2019次,点B的落点依次为B1,B2,B3,B4…,则B2019的坐标为____.
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【题目】某商场销售一种成本为每件30元的商品,销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y=-10x+600,商场销售该商品每月获得利润为w(元).
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润,那么每月成本至少多少元?
(3)为了保护环境,政府部门要求用更加环保的新产品替代该商品,商场销售新产品,每月的销量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同,新产品的成本每件32元,若新产品每月的销售量不低于200件时,政府部门给予每件4元的补贴,试求定价多少元时,每月销售新产品的利润最大?求出最大的利润。
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【题目】在下列解题过程的空白处填上适当的内容(推理的理由或数学表达式)如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠4.
求证:EF∥GH
证明:∵∠1+∠2=180°(已知),
∠AEG=∠1(对顶角相等)
∴ ,
∴AB∥CD( ),
∴∠AEG=∠ ( )
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3+∠AEG=∠4+∠ (等式性质),
∴EF∥GH.
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【题目】已知,点为平面内一点,连接.
(1)探究:
如图1:,,则的度数是___________;
如图2:,,则的度数是___________.
(2)在图2中试探究,,之间的数量关系,并说明理由.
(3)拓展探究:当点在直线,外,如图3、4所示的位置时,请分别直接写出,,之间的数量关系.
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