Question

19．如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+2x的顶点为M，与x轴交于0，A两点，点P（a，0）是线段0A上一动点（不包括端点），过点P作y轴的平行线，交直线y=$\frac{1}{5}$x于点B，交抛物线于点C，以BC为一边，在BC的右侧作矩形BCDE，若CD=2，则当矩形BCDE与△0AM重叠部分为轴对称图形时，a的取值范围是$\frac{16+2\sqrt{31}}{5}$或$\frac{16-2\sqrt{31}}{5}$或5≤a＜$\frac{20}{3}$．

Answer 1

分析 待定系数法求出直线AM的解析式，然后判断出△AOM是等腰直角三角形，再分①矩形BCDE为正方形时，根据抛物线和直线解析式表示出BC，再根据BC=CD列出方程求解即可；②矩形BCDE关于抛物线对称轴对称时，根据轴对称的性质，对称轴向有$\frac{1}{2}$CD即为点P的横坐标；③点E在AM上时，设直线y=$\frac{1}{5}$x与直线AM相交于点G，联立两直线解析式求出点G的坐标，然后求出点E在直线AM上时，由相似三角形的性质得到PB=1，过点G作GH⊥x轴于H，根据相似三角形的性质得到点B的纵坐标，再代入直线解析式求出点B的横坐标，即为点P的横坐标，从此位置到点B与点G重合，重叠部分为等腰直角三角形，是轴对称图形．

解答 解：∵y=-$\frac{1}{4}$x²+2x=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+4，
∴顶点M的坐标为（4，4），
令y=0，则-$\frac{1}{4}$x²+2x=0，
整理得，x²-8x=0，
解得x₁=0，x₂=8，
∴点A的坐标为（8，0），
设直线AM的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+8，
∴∠MAO=45°，
由抛物线的对称性得，△AMO是等腰直角三角形，
①矩形BCDE为正方形时，BC=DC，
∴（-$\frac{1}{4}$a²+2a）-$\frac{1}{5}$a=2，
解得a₁=$\frac{16+2\sqrt{31}}{5}$，a₂=$\frac{16-2\sqrt{31}}{5}$；
②矩形BCDE关于抛物线对称轴对称时，
点P的横坐标a=4+$\frac{1}{2}$CD=4+$\frac{1}{2}$×2=4+1=5；
③如图，点E在AM上时，设直线y=$\frac{1}{5}$x与直线AM相交于点G，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{1}{5}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{20}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴点G的坐标为（$\frac{20}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∵PB∥y轴，四边形BCDE为矩形，
∴BE∥x轴，
∴△GBE∽△OGA，
∴$\frac{GB}{OG}$=$\frac{BE}{OA}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{OB}{OG}$=$\frac{3}{4}$，
过点G作GH⊥x轴于H，则GH∥PB，
∴△OBP∽△OGH，
∴$\frac{PB}{GH}$=$\frac{OB}{OG}$，
即$\frac{PB}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
解得PB=1，
∴点B的纵坐标为1，
代入y=$\frac{1}{5}$x得，$\frac{1}{5}$x=1，
解得x=5，
∴点P的横坐标a=5，
∴从此位置到点B与点G重合，重叠部分为等腰直角三角形，
∴5＜a＜$\frac{20}{5}$；
综上所述，矩形BCDE与△OAM重叠部分为轴对称图形时，a的取值范围是：$\frac{16+2\sqrt{31}}{5}$，或$\frac{16-2\sqrt{31}}{5}$；或5或5≤a＜$\frac{20}{3}$，
故答案为：$\frac{16+2\sqrt{31}}{5}$或$\frac{16-2\sqrt{31}}{5}$或5≤a＜$\frac{20}{3}$．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于要根据矩形EFGH的位置分情况讨论．