Question

16．观察规律：$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}=\sqrt{2}-1，\;\;\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}，\;\;\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}=2-\sqrt{3}$，…，求值．
（1）$\frac{1}{{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$；
（2）$\frac{1}{{\sqrt{11}+\sqrt{10}}}$=$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$；
（3）$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 （1）直接找出有理化因式（2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$），进而化简求出即可；
（2）直接找出有理化因式（$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$），进而化简求出即可；
（3）直接找出有理化因式（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），进而化简求出即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{（2\sqrt{2}-\sqrt{7}）}{（2\sqrt{2}+\sqrt{7}）（2\sqrt{2}-\sqrt{7}）}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$；
故答案为：2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$；

（2）原式=$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{（\sqrt{11}+\sqrt{10}）（\sqrt{11}-\sqrt{10}）}$=$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$；
故答案为：$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$；

（3）原式=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

点评 此题主要考查了分母有理化，正确找出有理化因式是解题关键．