Question

2．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=4，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AB中点．动点E，F分别在边AC，BC上（不与顶点重合），且∠EDF=45°．
（1）若设AE=x，BF=y，试确定y与x的函数关系．
（2）求当△DEF为等腰三角形时，CE，CF的长．
（3）DH⊥AC，H为垂足．试探究以D为圆心，以DH为半径的圆与EF的位置关系，并加以说明．

Answer 1

分析 （1）本题可通过图中的相似三角形ADE和BDF，可得出关于AD，BD，DE，DF的比例关系式，由于AD=BD=2，由此可得出关于y，x的函数关系式；
（2）可分三种情况进行讨论：①当DE=EF时；②当DF=EF时；③当DE=DF时；分别求出CE，CF的长即可；

解答 解：（1）在△ADE和△FDB中，
∵∠ADE+∠BDF=135°，∠ADE+∠AED=135°，
∴∠FDB=∠AED，
又∵∠A=∠B，
∴△AED∽△FDB，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{AD}{BF}$．
∵AE=x，BF=y，AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴y=$\frac{4}{x}$；
（2）①当DE=EF时，∠DEF是直角，F，C重合，DE是三角形ABC的中位线，E是AC中点．
②当DF=EF时，∠DFE是直角，与①同理，E，C重合，F是BC中点
③当DE=DF时，如果连接CD，那么CD必然平分∠ACB，
∴AD=BD，∠A=∠B=45°，ED=FD，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠BDF=∠ADE+∠AED=135°，
∴∠BDF=∠AED，
∴△AED≌△BDF，
∴AE=BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴CE=CF=2$\sqrt{2}$-2；
（3）以DH为半径的圆与EF相切，理由如下：
∵△AED∽△BFD，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{DE}{DF}$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{DE}{DF}$．
即$\frac{AE}{DE}=\frac{AD}{DF}$．
又∵∠A=∠EDF=45°，
∴△AED∽△DEF．
∴∠AED=∠DEF．
∴点D到AC和EF的距离相等．
∵AC与⊙O相切，
∴点O到EF的距离等于⊙O的半径．
∴EF与⊙O相切，
即以DH为半径的圆与EF相切．

点评 本题主要考查了和圆有关的综合题，用到的知识点由相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及切线的判定等知识点，通过相似三角形得出角相等或边成比例是解题的关键．