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    如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知C点坐标为（6，0）．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）联结 AB，过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明；
    （3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出△PAC的最大面积．
    考点：二次函数综合题
    专题：压轴题
    分析：（1）设抛物线顶点式解析式为y=a（x-4）2+1，然后把点C的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；
    （2）令y=0求出点B的坐标，令x=0求出点A的坐标，然后求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，设⊙C与对称轴l相切于F，根据圆的半径求出CF，过点C作CE⊥BD于E，求出△AOB和△BEC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CE，然后根据直线与圆的位置关系求解即可；
    （3）根据抛物线解析式设点P的坐标为（x，-
    1
    4
    x2+2x-3），过点P作PQ∥y轴交直线AC于Q，求出直线AC的解析式并表示出点Q的坐标，然后求出PQ的长，再根据三角形的面积公式列式整理，然后利用二次函数的最值问题确定出点P的横坐标，再求出纵坐标，即可得解．
    解答：（1）解：∵抛物线的顶点为（4，1），
    ∴设抛物线解析式为y=a（x-4）2+1，
    ∵抛物线经过点C（6，0），
    ∴a（6-4）2+1=0，
    解得a=-
    1
    4
    ，
    ∴y=-
    1
    4
    （x-4）2+1=-
    1
    4
    x2+2x-3，
    所以，抛物线的解析式为y=-
    1
    4
    x2+2x-3；

    （2）补全图形如图所示；直线BD与⊙C相离．
    证明：令y=0，则-
    1
    4
    x2+2x-3=0，
    整理得，x2-8x+12=0，
    解得x1=2，x2=6，
    ∴B点坐标（2，0），
    又∵抛物线交y轴于点A，
    ∴A点坐标为（0，-3），
    ∴AB=
    		32+22
    =
    		13
    ，
    设⊙C与对称轴l相切于点F，则⊙C的半径CF=2，
    作CE⊥BD于点E，则∠BEC=∠AOB=90°．
    ∵∠ABD=90°，
    ∴∠CBE=90°-∠ABO，
    又∵∠BAO=90°-∠ABO，
    ∴∠BAO=∠CBE，
    ∴△AOB∽△BEC，
    ∴
    CE
    OB
    =
    BC
    AB
    ，
    即
    CE
    2
    =
    4
    		13
    ，
    解得CE=
    8
    		13
    ＞2，
    ∴直线BD与⊙C相离；

    （3）解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，
    ∵A（0，-3），C（6，0），
    ∴直线AC解析式为y=
    1
    2
    x-3，
    设P点坐标为（m，-
    1
    4
    m2+2m-3），
    则Q点的坐标为（m，
    1
    2
    m-3），
    ∴PQ=-
    1
    4
    m2+2m-3-（
    1
    2
    m-3）=-
    1
    4
    m2+
    3
    2
    m，
    ∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ，
    =
    1
    2
    ×（-
    1
    4
    m2+
    3
    2
    m）×6，
    =-
    3
    4
    m2+
    9
    2
    m，
    =-
    3
    4
    （m-3）2+
    27
    4
    ，
    ∴当m=3时，△PAC的面积最大为
    27
    4
    ，
    ∵当m=3时，-
    1
    4
    m2+2m-3=-
    1
    4
    ×32+2×3-3=
    3
    4
    ，
    ∴P点坐标为（3，
    3
    4
    ），
    综上所述，P点的位置是（3，
    3
    4
    ），△PAC的最大面积是
    27
    4
    ．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，（1）用顶点形式设出抛物线解析式更简便，（2）关键在于求出两个三角形相似，（3）把△APC分成两个三角形表示出面积是解题的关键．
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    2011
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