Question

（2013•丽水）如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t．
（1）当t=2时，求CF的长；
（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上；
     ②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿x轴左右平移得到△C′D′F′，再将A，B，C′，D′为顶点的四边形沿C′F′剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的点C′的坐标．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=

1

2

OA=

1

2

t，由此求出CF的值；
（2）①由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的长度；若点C落在线段BD上，则有△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；
②有两种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图1所示．
（3）本问涉及图形的剪拼．在△CDF沿x轴左右平移的过程中，符合条件的剪拼方法有三种，需要分类讨论，分别如答图2-4所示．

解答：解：（1）由题意，易证Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

CF

OA

=

AC

AB

．
∵AB=2AM=2AC，
∴CF=

1

2

OA=

1

2

t．
当t=2时，CF=1．

（2）①由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

AF

OB

=

AC

AB

=

1

2

，
∴AF=

1

2

OB=2，∴FD=AF=2，．
∵点C落在线段BD上，∴△DCF∽△DBO，
∴

CF

OB

=

DF

OD

，即

1 2 t

4

=

2

t+4

，
解得t=2

5

-2或t=-2

5

-2（小于0，舍去）
∴当t=2

5

-2时，点C落在线段BD上；
②当0＜t≤8时，如题图1所示：
S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（4-

1

2

t）=-

1

4

t²+

3

2

t+4；
当t＞8时，如答图1所示：

S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（

1

2

t-4）=

1

4

t²-

3

2

t-4．

（3）符合条件的点C的坐标为：（12，4），（8，4）或（2，4）．
理由如下：
在△CDF沿x轴左右平移的过程中，符合条件的剪拼方法有三种：
方法一：如答图2所示，当F′C′=AF′时，点F′的坐标为（12，0），

根据△C′D′F′≌△AHF′，△BC′H为拼成的三角形，此时C′的坐标为（12，4）；
方法二：如答图3所示，当点F′与点A重合时，点F′的坐标为（8，0），

根据△OC′A≌△BAC′，可知△OC′D′为拼成的三角形，此时C′的坐标为（8，4）；
方法三：当BC′=F′D′时，点F′的坐标为（2，0），

根据△BC′H≌△D′F′H，可知△AF′C′为拼成的三角形，此时C′的坐标为（2，4）．

点评：本题考查了坐标平面内几何图形的多种性质，是一道难度较大的中考压轴题．涉及到的知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转、平移、对称）、图形的剪拼、解方程等，非常全面；分类讨论的思想贯穿第（2）②问和第（3）问，第（3）问还考查了几何图形的空间想象能力．本题涉及考点众多，内涵丰富，对考生的数学综合能力要求较高．