Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD⊥CD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E．
（1）求证：

AD

CB

=

DE

BD

；
（2）如果BD平分∠ABC，求证：AE=

1

2

CD．

Answer 1

分析：（1）由AD与BC平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，由BD⊥CD，AE⊥BD，根据垂直定义得到一对直角相等，由两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形ADE与三角形BCD相似，由相似得比例得证；
（2）过D作DF∥AB，又AD∥BF，得到四边形ABFD为平行四边形，由平行得一对内错角相等，由角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据“等角对等边”得到AD=AB，故四边形ABFD为菱形，从而得到BF=DF，根据“等边对等角”得到∠FDB=∠FBD，由∠DFC为三角形BDF的外角，根据外角性质得到∠DFC=2∠DBC，又由AB与DF平行得到∠DFC=∠ABC=∠C，且∠BDC为直角，故∠ABD=∠DBC=30°，在直角三角形ABE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到AE等于AB的一半，又AB=DC，得证．

解答：证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
又BD⊥CD，AE⊥BD，
∴∠AED=∠CDB=90°，
∴△ADE∽△CBD，
∴

AD

CB

=

DE

BD

；

（2）过D作DF∥AB，交BC于F，
∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴AB=CD=DF，∴∠DFC=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴四边形ABFD为菱形，
∴BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
又∠DFC为△DFB的外角，
∴∠DFC=∠DBF+∠BDF=2∠DBF，
∴∠C=2∠DBF，又∠BDC=90°，
∴∠DBF=30°，
∴∠ABD=30°，
∴在Rt△ABE中，AE=

1

2

AB，
∴AE=

1

2

CD．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质以及梯形的有关知识．要求学生掌握梯形常添的四种辅助线的作法：平移腰；作两条高；延长两腰交于一点；平移对角线．根据实际情况灵活选用辅助线的作法．