Question

4．如图，抛物线L：y=-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP=12，
（1）求k值；
（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x₀，且满足4≤x₀≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设点P（x，y），只要求出xy即可解决问题．
（2）先求出A、B坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题．
（3）根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在MP右侧，L于MP的交点就是最高点．
（4）画出图形求出C、D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．

解答 解：（1）设点P（x，y），则MP=y，由OA的中点为M可知OA=2x，代入OA•MP=12，
得到2x•y=12，即xy=6．
∴k=xy=6．
（2）当t=1时，令y=0，0=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x+3），
解得x=1或-3，
∵点B在点A左边，
∴B（-3，0），A（1，0）．
∴AB=4，
∵L是对称轴x=-1，且M为（$\frac{1}{2}$，0），
∴MP与L对称轴的距离为$\frac{3}{2}$．
（3）∵A（t，0），B（t-4，0），
∴L的对称轴为x=t-2，
又∵OM为x=$\frac{t}{2}$，
当t-2≤$\frac{t}{2}$，即t≤4时，顶点（t-2，2）就是G的最高点．
当t＞4时，L与MP的解得（$\frac{t}{2}$，-$\frac{1}{8}$t²+t）就是G的最高点．
（4）结论：5$≤t≤8-\sqrt{2}$或7$≤\\;t≤$t≤8+$\sqrt{2}$．
理由：对双曲线，当4≤x₀≤6时，1≤y₀≤$\frac{3}{2}$，即L与双曲线在C（4，$\frac{3}{2}$），D（6，1）之间的一段有个交点．
①由$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（4-t）（4-t+4）解得t=5或7．
②由1=-$\frac{1}{2}$（6-t）（6-t+4）解得t=8+$\sqrt{2}$和8-$\sqrt{2}$．
随t的逐渐增加，L的位置随着A（t，0）向右平移，如图所示，

当t=5时，L右侧过过点C．
当t=8-$\sqrt{2}$＜7时，L右侧过点D，即5≤t$≤8-\sqrt{2}$．
当8-$\sqrt{2}$＜t＜7时，L右侧离开了点D，而左侧未到达点C，即L与该段无交点，舍弃．
当t=7时，L左侧过点C．当t=8+$\sqrt{2}$时，L左侧过点D，即7≤t≤8+$\sqrt{2}$．
综上所述，满足条件的t的值，5≤t$≤8-\sqrt{2}$或7≤t≤8+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图形信息解决问题，学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面，属于中考常考题型．