Question

【题目】如图，在△ABC中，AD、CF分别是∠BAC、∠ACB的角平分线，且AD、CF交于点I，IE⊥BC与E，下列结论：①∠BIE＝∠CID；②S△ABC＝IE(AB＋BC＋AC)；③BE＝(AB＋BC－AC)；④AC＝AF＋DC.其中正确的结论是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①由I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，得到∠ABI=∠IBD，由于∠CID+∠ABI=90°，即∠CIE+∠DIE+∠IBD=90°，于是得到∠BIE=∠CID；即①成立；②由I是△ABC三内角平分线的交点，得到点I到△ABC三边的距离相等，根据三角形的面积即可得到即②成立；③如图过I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，有I是△ABC三内角平分线的交点，得到IE=IH=IG，通过Rt△AHT≌△RtAGI，得到AH=AG，同理BE=BF，CE=CG，于是得到即③成立；④由③证得IH=IE，∠FHI=∠IED=90°，于是得到△IHF与△DEI不一定全等，即④错误．

①∵I为△ABC角平分线的交点，IE⊥BC于E，

∴∠ABI=∠IBD，

∵∠DIC=∠DAC+∠ACI=（∠BAC+∠ACB），∠ABI=∠ABC，

∴∠CID+∠ABI=90°，

∵IE⊥BC于E，

∴∠BIE+∠IBE=90°，

∵∠ABI=∠IBE，

∴∠BIE=∠CID；

即①成立；

②∵I是△ABC三内角平分线的交点，

∴点I到△ABC三边的距离相等，

∴S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=ABIE+BCIE+ACIE=IE（AB+BC+AC），即②成立；

③如图过I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，

∵I是△ABC三内角平分线的交点，

∴IE=IH=IG，

在Rt△AHT与△RtAGI中，

，

∴Rt△AHT≌△RtAGI，

∴AH=AG，

同理BE=BH，CE=CG，

∴BE+BH=AB+BC-AH-CE=AB+BC-AC，

∴BE=（AB+BC-AC）；即③成立；

④由③证得IH=IE，

∵∠FHI=∠IED=90°，

∴△IHF与△DEI不一定全等，

∴HF不一定等于DE，

∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD，即④错误．

故选A．