Question

13．如图，在正方形ABCD中，AB=4，∠MDN=45°，点M，N分别在AB，BC边上，延长BC至E，使CE=AM，连接DE．
（1）求证：DM=DE；
（2）猜想MN，AM，CN之间有什么数量关系，并进行证明；
（3）设AM=t，若△MDN为等腰三角形，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得出DA=DC、∠A=∠DCE，再结合AM=CE即可证出△DAM≌△DCE（SAS），进而可证出DM=DE；
（2）猜想MN=AM+CN，结合（1）中的△DAM≌△DCE即可得出∠ADM=∠CDE、DM=DE，通过角的计算即可得出∠EDN=∠MDN，由此即可证出△MDN≌△EDN（SAS），进而可得出MN=EN，再根据边与边之间的关系即可证出结论；
（3）由△MDN≌△EDN可知：若△MDN为等腰三角形，则△EDN为等腰三角形．分DN=EN、DE=NE和DE=DN三种情况考虑，分别求出三种情况下的t值，合在一起即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠A=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°=∠A．
在△DAM和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠A=∠DCE}\\{AM=CE}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△DCE（SAS），
∴DM=DE．
（2）解：猜想MN=AM+CN，证明如下：
∵△DAM≌△DCE，
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE．
∵∠ADC=90°，∠MDN=45°，
∴∠ADM+∠CDN=45°，
∴∠CDE+∠CDN=45°=∠EDN=∠MDN．
在△MDN和△EDN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DE}\\{∠MDN=∠EDN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN．
∵EN=EC+CN，CE=AM，
∴MN=AM+CN．
（3）解：∵△MDN≌△EDN，
∴若△MDN为等腰三角形，则△EDN为等腰三角形．
①当DN=EN时，∵∠EDN=45°，
∴∠EDN=∠DEN=45°，
∴∠DNE=90°，
此时点M与点B重合，点N与点C重合，
∴t=AB=4；
②当DE=NE时，∵∠EDN=45°，
∴∠EDN=∠END=45°，
∴∠E=90°，
此时点M与点A重合，点N与点B重合，
∴t=0；
③当DE=DN时，∵DC⊥BE，
∴CE=CN=AE=t，
∴BM=BN=AB-AM=4-t．
在Rt△MBN中，BM=BN=4-t，MN=EN=2t，
∴（2t）²=2×（4-t）²，即t²+8t-16=0，
解得：t=4$\sqrt{2}$-4或t=-4$\sqrt{2}$-4（舍去）．
综上可知：若△MDN为等腰三角形，t的值为4，0或4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．