Question

老师在黑板上写出三个算式：5²－3²＝8×2,9²－7²＝8×4,15²－3²＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11²－5²＝8×12,15²－7²＝8×22，……

(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；

(2)用文字写出反映上述算式的规律；

(3)证明这个规律的正确性．

Answer 1

解：(1)7²－5²＝8×3；9²－3²＝8×9等．

(2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．

(3)设m，n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)²－(2n＋1)²＝4(m－n)(m＋n＋1)．

当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；

当m，n一偶一奇时，则m＋n＋1一定为偶数，

所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．

所以，任意两个奇数的平方差是8的倍数．