Question

如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．

   （1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）

   （2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）

   （参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学计算器）

Answer 1

【答案】解：（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为180° ．

连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH，

∵∠OAB=120°，

∴∠OAE=60°

在Rt△OAE中，

∵∠OAE=60°，OA=10，

∴sin∠OAE==，

∴OE=5，

∴AE=5.

∴EB=AE+AB=53，

在Rt△OEB中，

∵OE=5，EB=53，

∴OB===2≈53.70；

（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，

∴△BAO≌△OCD，∴S_△BAO=S_△OCD，

∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=π(OB²－OA²)

                           =1392π.

【考点解剖】  本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）．

【解题思路】  将实际问题转化为数学问题，（1）AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作AB边上的高，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜边OA=10，可求出OE、AE的长，进而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；（2）雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）.

【解答过程】  略.

【方法规律】  将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量.

【关键词】   刮雨器   三角函数  解直角三角形   中心对称  扇形的面积