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关于二次函数y=mx2-x-m+1(m≠0).以下结论:①不论m取何值,抛物线总经过点(1,0);②若m<0,抛物线交x轴于A、B两点,则AB>2;③当x=m时,函数值y≥0;④若m>1,则当x>1时,y随x的增大而增大.其中正确的序号是(  )
分析:①令y=0,利用因式分解法求得相应的x的值,即该函数所经过的定点坐标;
②根据AB=|x1-x2|求解;
③需要对m的取值进行讨论:当m≤1时,y≤0;
④根据二次函数图象的开口方向、对称轴方程以及单调性进行判断.
解答:解:①由二次函数y=mx2-x-m+1(m≠0),得
y=[m(x+1)-1](x-1);
令y=0,则m(x+1)-1=0或x-1=0,即x1=
1-m
m
,x2=1,
所以该函数经过点(
1-m
m
,0)、(1,0),
∴无论m取何值,抛物线总经过点(1,0);
故本选项正确;

②若m<0时,AB=|x2-x1|=|1-
1-m
m
|=|2-
1
m
|>|2|=2,即AB>2;故本选项正确;

③根据题意,得
y=m3-2m+1=(m-1)(m2+m-1)(m≠0),
∵m2>0,
∴m2+m-1>m-1,
当m-1≤0,即m≤1时,
(m-1)(m2+m-1)≤(m-1)2
∵(m-1)2≥0,
∴(m-1)(m2+m-1)≤0或(m-1)(m2+m-1)≥0,
即y≤0或y≥0;
故本选项错误;

④当m>1时,x1=
1-m
m
<0<x2,且抛物线该抛物线开口向上,
∴当x>1时,该函数在区间[1,+∞)上是增函数,即y随x的增大而增大.
故本选项正确;
综上所述,正确的说法有①②④.
故选C.
点评:本题主要考查抛物线与x轴的交点的知识点,解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质,此题难度一般.
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A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④

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A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④

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A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④

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