Question

梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4cm，AD=6cm，BC=12cm，∠B=30°，现点P从B点出发，沿BA→AD向点D运动，点Q从点C出发，沿CB向点B运动，P、Q的运动速度均为1cm/s，两点中有一点到达目的地时，另一点也停止运动，
（1）请用含有t的代数式表示S_△PBQ；
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，A、B、Q、P四点恰好构成一个平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①当P在AB上时，过P作PH⊥BC于H，t秒后，BP=tcm，
∵∠B=30°，
∴PH=t，BQ=12-t，
∴S_△PBQ=t（12-t）（0≤t≤4）
②当P在AD上时，过P作PH⊥BC于H，PH=AB=2
S_△PBQ=（12-t）×2×=12-t（4＜t≤10）

（2）能；当P点运动t秒后，在线段AD上时，A、B、Q、P能构成一个平行四边形，
此时，AP∥BQ且AP=BQ，可得t-4=12-t，解得，t=8，
所以，运动8s后，A、B、Q、P四点恰好构成一个平行四边形．
分析：（1）有两种情况，即P在AB上时和P在AD上时，在这两种情况中，BQ的长都能表示为（12-t），关键是P到BC的距离，当P在AB上时，PB=t，由于∠B=30°，所以此时高为0.5t，当P在AD上时，P到BC的距离和A到BC的距离相等为2，所以面积就可求出了．
（2）要成为平行四边形则必须AP=BQ，即t-4=12-t，解方程即可解答．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，以及变量之间的函数关系，难易程度适中．