Question

19．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．
（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF²=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可；
（3）先判断出∠AFD=∠CEF，再判断出AF=EF，从而得到△ADF≌△FCE即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠DCE=90°
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠EAF被对角线AC平分，
∴∠CAF=∠CAE，
在△ACF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠ACE}\\{AC=AC}\\{∠CAF=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACE，
∴CF=CE，
∵CE=a，CF=b，
∴a=b，
∵△ACF≌△ACE，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，
∵∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CE=AC=4$\sqrt{2}$，
即：a=b=4$\sqrt{2}$；
（2）当△AEF是直角三角形时，
①当∠AFE=90°时，∴∠AFD+∠CFE=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AFD=∠CEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，
∴∠AEF=45°=∠EAF
∴AF=EF，
在△ADF和△FCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠FCE}\\{∠AFD=∠CEF}\\{AF=EF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△FCE，
∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，
∴a=8，b=4
②当∠AEF=90°时，
同①的方法得，CF=8，CE=4，
∴a=4，b=8．
（3）ab=32，
理由：如图，

∵AB∥CD
∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAG+∠CAF=45°，
∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，
∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，
∴△ACF∽△ECA，
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{CF}{AC}$，
∴EC×CF=AC²=2AB²=32
∴ab=32．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断△ACF∽△ECA，也是本题的难点．