Question

如图①，已知二次函数的解析式是y＝ax²＋bx(a>0)，顶点为A(1，－1)．
(1)a＝   ；
(2)若点P在对称轴右侧的二次函数图像上运动，连结OP，交对称轴于点B，点B关于顶点A的对称点为C，连接PC、OC，求证：∠PCB＝∠OCB；
(3)如图②，将抛物线沿直线y＝－x作n次平移(n为正整数，n≤12)，顶点分别为A₁，A₂，…，A_n，横坐标依次为1，2，…，n，各抛物线的对称轴与x轴的交点分别为D₁，D₂，…，D_n，以线段A_nD_n为边向右作正方形A_nD_nE_nF_n，是否存在点Fn恰好落在其中的一个抛物线上，若存在，求出所有满足条件的正方形边长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）1；（2）证明见解析；（3）2，6．

试题分析：（1）直接利用顶点坐标，进而代入求出即可；
（2）根据题意得出，，进而得出△ODC∽△PHC，求出即可；
（3）由题意得出：A₁（1，-1），A₂（2，-2），A₃（3，-3），…A_n（n，-n），进而得出F₁（2，-1），F₂（4，-2），F₃（6，-3），…F_n（2n，-n）..，即可分类讨论得出n的值．
试题解析：（1）解：∵二次函数的解析式是y=ax²+bx（a＞0），顶点为A（1，-1），
∴，
解得：．

（2）证明：由（1）得，抛物线的解析式为：y=x²-2x，
设P（m，m²-2m），则直线OP的解析式为：y=（m-2）x，
∴B（1，m-2），∴C（1，-m），
过点P作PH⊥CD于点H，则PH=m-1，CH=m²-m，
∴，，
∵∠ODC=∠PHC，
∴△ODC∽△PHC，
∴∠PCB=∠OCB；
（3）解：由题意得出：A₁（1，-1），A₂（2，-2），A₃（3，-3），…A_n（n，-n），
∴F₁（2，-1），F₂（4，-2），F₃（6，-3），…F_n（2n，-n）…
若F_n恰好落在其中的第m个抛物线上（m为正整数，m≤12），
则该抛物线解析式为：y=（x-m）²-m，
将F_n代入得：-n=（2n-m）²-m，
即（2n-m）²=m-n，
∴m-n是一个平方数，只能是0，1，4，9，
当m-n=0时，2n-m=0，∴m=n=0（舍去）；
当m-n=1时，2n-m=1或-1，∴n=2或0（舍去）；
当m-n=4时，2n-m=2或-2，∴n=2或6；
当m-n=9时，2n-m=3或-3，∴n=6（舍去）或12（舍去）．
综上所述，正方形边长n的值可以是2，6．