Question

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，$\frac{9}{2}$）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x-1）²+$\frac{9}{2}$，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）解方程-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$=0得A（-2，0），B（4，0），再利用△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC=45°，BC=4$\sqrt{2}$，作EH⊥BC于H，如图，设E（t，0），则AE=t+2，BE=4-t，易得EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t），根据平行线分线段成比例定理得CF=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（t+2），利用三角形面积公式得到S=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（t+2）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t），然后根据二次函数的性质求解．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
把C（0，4）代入得a（0-1）²+$\frac{9}{2}$=4，解得a=-$\frac{1}{2}$，
所以y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$；

（2）当y=0时，y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$=0，解得x₁=-2，x₂=4，则A（-2，0），B（4，0），
∵OB=OC=4，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=4$\sqrt{2}$，
作EH⊥BC于H，如图，设E（t，0），则AE=t+2，BE=4-t，
易△EBH为等腰直角三角形，则EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t），
∵EF∥AC，
∴$\frac{CF}{CB}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{CF}{4\sqrt{2}}$=$\frac{t+2}{6}$，解得CF=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（t+2），
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（t+2）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t）=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（t-1）²+3，
当t=1时，S有最大值，最大值为3，此时E点坐标为（1，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质．