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阅读下列材料:

我们知道,一次函数ykxb的图象是一条直线,而ykxb经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式:AxBxC=0(ABC是常数,且AB不同时为0).如图1,点Pmn)到直线lAxBxC=0的距离(d)计算公式是:d 

例:求点P(1,2)到直线y x的距离d时,先将y x化为5x-12y-2=0,再由上述距离公式求得d  

解答下列问题:

如图2,已知直线y=-x-4与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线yx2-4x+5上的一点M(3,2).

(1)求点M到直线AB的距离.

(2)抛物线上是否存在点P,使得△PAB的面积最小?若存在,求出点P的坐标及△PAB面积的最小值;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(1) 6 (2)存在,P),△PAB面积的最小值为×5×

【解析】

试题分析:(1)将y=- x-4化为4x+3y+12=0,由上述距离公式得:

d =6

∴点M到直线AB的距离为6         

(2)存在

Pxx2-4x+5),则点P到直线AB的距离为:

d

由图象知,点P到直线AB的距离最小时x>0,x2-4x+5>0

d (x )2           

∴当x 时,d最小,为          

x时,x2-4x+5=()2-4×+5= ,∴P)          

y=- x-4中,令x=0,则y=-4,∴B(0,-4)

y=0,则xy=-3。∴A(-3,0)

AB=5              

∴△PAB面积的最小值为×5×       

考点:直线与抛物线

点评:本题考查直线与抛物线,掌握直线与抛物线的性质,会求点到直线的距离

 

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

28、阅读下列材料:
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离;即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;
这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离;
在解题中,我们会常常运用绝对值的几何意义:
例1:解方程|x|=2.容易得出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的x=±2;
例2:解不等式|x-1|>2.如图,在数轴上找出|x-1|=2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1,3,则|x-1|>2的解为x<-1或x>3;
例3:解方程|x-1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上,1和-2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边.若x对应点在1的右边,如图可以看出x=2;同理,若x对应点在-2的左边,可得x=-3.故原方程的解是x=2或x=-3.
参考阅读材料,解答下列问题:
(1)方程|x+3|=4的解为
1或-7

(2)解不等式|x-3|+|x+4|≥9;
(3)若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立,求a的取值范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

31、阅读下列材料:我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离;即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1,x2对应点之间的距离;
例1.已知|x|=2,求x的值.
解:容易看出,在数轴上与原点距离为2点的对应数为-2和2,
即x的值为-2和2.
例2.已知|x-1|=2,求x的值.
解:在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和-1,
即x的值为3和-1.
仿照阅读材料的解法,求下列各式中x的值.
(1)|x|=3
(2)|x+2|=4.

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科目:初中数学 来源: 题型:

请阅读下列材料:
我们规定一种运算:
.
ac
bd
.
=ad-bc,例如:
.
23
45
.
=2×5-3×4=10-12=-2.按照这种运算的规定,请解答下列问题:(1)直接写出
.
-12
-20.5
.
的计算结果;
(2)当x取何值时,
.
x0.5-x
12x
.
=0;
(3)若
.
0.5x-1y
83
.
=
.
x-y
0.5-1
.
=-7,直接写出x和y的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2012•郴州)阅读下列材料:
    我们知道,一次函数y=kx+b的图象是一条直线,而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式:Ax+Bx+C=0(A、B、C是常数,且A、B不同时为0).如图1,点P(m,n)到直线l:Ax+By+C=0的距离(d)计算公式是:d=
|A×m+B×n+C|
A2+B2


    例:求点P(1,2)到直线y=
5
12
x-
1
6
的距离d时,先将y=
5
12
x-
1
6
化为5x-12y-2=0,再由上述距离公式求得d=
|5×1+(-12)×2+(-2)|
52+(-12)2
=
21
13

    解答下列问题:
    如图2,已知直线y=-
4
3
x-4
与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=x2-4x+5上的一点M(3,2).
    (1)求点M到直线AB的距离.
    (2)抛物线上是否存在点P,使得△PAB的面积最小?若存在,求出点P的坐标及△PAB面积的最小值;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下列材料:我们在学习二次根式时,式子
x
有意义,则x≥0;式子
-x
有意义,则x≤0;若式子
x
+
-x
有意义,求x的取值范围;这个问题可以转化为不等式组来解决,即求关于x的不等式组
x≥0
-x≤0
的解集,解这个不等式组得x=0.请你运用上述的数学方法解决下列问题:
(1)式子
x2-1
+
1-x2
有意义,求x的取值范围;
(2)已知:y=
x-2
+
2-x
-3
,求xy的值.

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