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5.对x,y定义一种新运算,规定:$f(x,y)=\frac{ax+by}{2x+y}$(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算.例如:$f(0,1)=\frac{a×0+b×1}{2×0+1}=b$.已知f(1,-1)=-2;f(4,2)=1.
(1)求a,b的值;
(2)若关于m的不等式f(2m,5-4m)≤5-2k恰好有3个负整数解,求实数k的取值范围.

分析 (1)根据题意得到关于a、b的方程组,解方程组即可求得;
(2)表示出不等式的解集,得出不等式的解集,根据不等式恰好有3个负整数解即可得出关于m的不等式组,求出即可.

解答 解:(1)由题意得:$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-b}{2-1}=-2}\\{\frac{4a+2b}{8+2}=1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$;
(2)由(1)可知:f(x,y)=$\frac{x+3y}{2x+y}$,
∴f(2m,5-4m)=$\frac{2m+3(5-4m)}{2×2m+5-4m}$≤5-2k,
3-2m≤5-2k,
∴m≥-1+k,
∵不等式f(2m,5-4m)≤5-2k恰好有3个负整数解,
∴-4<-1+k≤-3,
∴-3<k≤-2.

点评 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解,解不等式组应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.

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