Question

17．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P在该抛物线上滑动，则满足S_△PAB=1的点P有几个？求出所有点P的坐标；
（3）在该抛物线的对称轴上存在点M，使得△MAC的周长最小，求出这个点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）结合点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为（x，y）．结合三角形的面积公式求出y=±1，将其代入抛物线解析式中求出x值，由此即可得出结论；
（3）假设存在，过点C作抛物线的对称轴的对称点C′，连接AC′交抛物线对称轴于点M，连接MC，任取抛物线对称轴上除M外的任意一点N，连接NA，NC、NC′，利用三角形两边之和大于第三边得出点A、M、C′三点共线时，△MAC的周长最小．由抛物线的解析式找出点C的坐标以及抛物线的对称轴，利用对称的性质找出点C′的坐标，结合点A、C′的坐标利用待定系数法求出直线AC′的解析式，再联立直线AC′的解析式与抛物线的对称轴成方程组，解方程组即可求出点M的坐标．

解答 解：（1）将点A（1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\\{\;}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式为y=-x²+4x-3．
（2）设点P的坐标为（x，y）．
∵AB=2，S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB•|y|=1，
∴y=±1．
当y=1时，有1=-x²+4x-3，即x²-4x+4=（x-2）²=0，
解得：x₁=x₂=2；
当y=-1时，有-1=-x²+4x-3，即x²-4x+2=0，
解得：x₃=2-$\sqrt{2}$，x₄=2+$\sqrt{2}$．
∴满足条件的点P有三个坐标分别为（2，1），（2+$\sqrt{2}$，-1），（2-$\sqrt{2}$，-1）．
（3）假设存在．
过点C作抛物线的对称轴的对称点C′，连接AC′交抛物线对称轴于点M，连接MC，任取抛物线对称轴上除M外的任意一点N，连接NA，NC、NC′，如图所示．

∵NA+NC=NA+NC′＞AC′=MA+MC′=MA+MC，
∴当点A、M、C′三点共线时，△MAC的周长最小．
∵抛物线的解析式为y=-x²+4x-3，
∴点C的坐标为（0，-3），抛物线的对称轴为x=-$\frac{4}{2×（-1）}$=2，
∴C′（4，-3）．
设直线AC′的解析式为y=mx+n，
∵点A（1，0）、C′（4，-3）在直线AC′上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{4k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC′的解析式为y=-x+1．
联立直线AC′的解析式和抛物线的对称轴成方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴直线AC′与对称轴x=2的交点为（2，-1），即M（2，-1），
∴存在点M（2，-1），可使△AMC的周长最小．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、解一元二次方程、对称的性质、二次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据三角形的面积求出点P的纵坐标；（3）找出点M的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．