Question

问题探究

（1）请在图①的正方形ABCD内，作出使∠APB=60°的一个点P，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），作出使∠APB=90°的所有的点P．
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，CD=8工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=45°．请你在图③中画出符合要求的点P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质和判定画出即可；
（2）根据圆周角定理（直角所对的圆周角是直角）画出即可；
（3）根据圆周角定理即可画出P点，求出AC，根据三角形面积公式求出BG，求出PG，AG，根据三角形面积公式求出面积即可．

解答：解：（1）如图①，

分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧交正方形ABCD内一点P，
连AP、BP，即为所求．
理由：因为AB=AP=BP，
所以三角形PAB为等边三角形，
所以∠APB=60°；

（2）如图②，

画法如下：
①作AB边的垂直平分线，交AB于O；
②以O为圆心，OA为半径作半圆，（A、B两点除外）；
P在⊙O中，直径AB所对圆周角均为90°，
∴弧AB（AB除外）上的所有点均为所求的点P；

（3）如图③，

画法如下：
①连接AC，
②作AB边的垂直平分线，交AB于O，
③以O为圆心，OA为半径作半圆，交中垂线于O′，
④以O′为圆心，O′A为半径，作⊙O′交AC于点P，
⑤在AC上截取AP=CP′，
则点P‘P′为所求，
过点B作BG⊥AC，交AC于点G，
∵在Rt△ABC中，AB=4，CD=8．
∴AC=4

5

，
在Rt△ABC中，由三角形的面积公式得：

1

2

AB×BC=

1

2

AC×BG，
∴BG=

AB×BC

AC

=

4×8

4 5

=

8 5

5

，
在Rt△BGP中，∠BGP=90°，∠APB=45°，BG=

8 5

5

，
∴PG=BG=

8 5

5

，
在Rt△AGB中，∠BGA=90°，AB=4，BG=

8 5

5

，
AG=

AB2-BG2

=

4 5

5

，
∴S△ABP=

1

2

(

4

5

5

+

8

5

5

)•

8

5

5

=

48

5

．

点评：本题考查了勾股定理，正方形性质，解直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线等知识点的应用，题目是一道比好的题目，综合性比较强，难度偏大．