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12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,且AD:BD=16:9,求sinA的值.

分析 首先根据AD:BD=16:9设AD=16x,则BD=9x,然后利用△ACD∽△CBD求得CD=12x,利用勾股定理求得AC的长,从而利用正弦函数的定义求解即可.

解答 解:∵AD:BD=16:9,
∴设AD=16x,则BD=9x,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CDA=∠CDB=90°,
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠A=∠BCD,
∴△ACD∽△CBD,
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$,
∴CD2=AD•BD=16x•9x,
∴CD=12x,
由勾股定理得:AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{(12x)^{2}+(16x)^{2}}$=20x,
∴sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{12x}{20x}$=$\frac{3}{5}$.

点评 本题考查了相似三角形的应用及解直角三角形的知识,解题的关键是能够利用相似三角形的知识求得CD的长,难度中等.

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