Question

如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC至E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）试判断线段BG与DE有何关系，并且说明理由．
（2）当正方形ABCD的边长BC=6，CE=2时，求GF的长．

Answer 1

分析：（1）BG=DE，根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得：BC=CD、∠BCF=∠DCE=90°，又CE=CF，根据边角边定理证明△BCF和△DCE全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）由勾股定理和已知数据可求出BG的长，利用有两对角相等的三角形相似可证明：△BGC∽△DGF，利用相似三角形的性质可得关于GF的比例式，把数据代入比例式即可求出GF的长．

解答：证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，

BC=DC ∠BCD=∠DCE CE=CG

，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；∠CBG=∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠CBG+∠E=90°，即BF⊥DE，
线段BG与DE垂直且相等．
（2）∵∠BCD=90°，
∴△BCG是直角三角形，
∴BG²=BC²+CG²，
∵CE=CG=2，BC=6，
∴BG=

40

=2

10

，
∵BC=DC=6，CG=2，
∴DG=DC-CG=4，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC=∠GDC，
∵∠BGC=∠DGF，
∴△BGC∽△DGF，
∴

BG

DG

=

CG

GF

，
∴

2 10

4

=

2

GF

，
GF=

4

10

=

2 10

5

．

点评：本题主要考查正方形的四条边都相等和四个角都是直角的性质以及三角形全等的判定和全等三角形对应边相等的性质、勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质．