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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图，△ABC中，BC=7，高AD=3，∠B=45°，垂直于BC的动直线FM、GN分别从B、C两点同时出发，向直线AD所在的位置平移，直到与AD重合为止．其中M、N为垂足，F、G是两直线分别与AB、AC的交点．且在平移过程中始终保持FG∥BC，设FM=x．
    （1）试用含x的代数式表示FG；
    （2）若点E与点B关于FM成轴对称，点H与点C关于GN成轴对称，在平移过程中
    ①x为何值时，点E和点H重合？
    ②设点E、F、G、H围成的四边形的面积为S，若H运动到B停止，试写出S关于x精英家教网的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
    分析：（1）由FC与BG平行，根据两直线平行得出两对同位角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形AFG与三角形ABC相似，根据相似三角形的对应高之比等于相似比，得到一个比例式，把相应的值代入即可用x表示出FG；
    （2）由∠B=45°，AD与BC垂直，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得AD=BD=3，从而用BC-BD求出CD，再利用勾股定理求出AC，又三角形BFM为等腰三角形，由FM=x，表示出弧BE，根据一对直角相等，且一对公共角，得到三角形CGN与三角形CAD相似，根据相似得比例，把相应的值代入，用x表示出CN，进而表示出CH，
    ①当E与H重合时，由图形得到BE+CH=7，把表示出的BE及CH代入列出关于x的方程，求出x的值即可；
    ②分两种情况考虑：E在BD上和E在CD上，分别表示出EH，根据题意可知四边形EFGH为梯形，再由FG，FM及表示出的EH，利用梯形的面积公式即可表示出四边形的面积S，并求出相应的x的范围即可．
    解答：精英家教网解：（1）∵FG∥BC，
    ∴∠AFG=∠ABC，∠AGF=∠ACB，
    ∴△AFG∽△ABC，又AD⊥BC，则AD⊥FG，
    ∴
    FG
    BC
    =
    AP
    AD
    ，又FM=PD=x，AD=3，BC=7，
    ∴
    FG
    7
    =
    3-x
    3
    ，
    ∴FG=-
    7
    3
    x+7；（3分）

    （2）∵∠B=45°，AD⊥BC，
    ∴△ABD为等腰直角三角形，
    ∴AD=BD=3，CD=BC-BD=4，根据勾股定理得：AC=
    		AD2+CD2
    =5，
    又根据题意得：△BFM为等腰直角三角形，且FM=x，
    ∴BE=2BM=2FM=2x，
    ∵∠GNC=∠ADC=90°，且∠C=∠C，
    ∴△CGN∽△CAD，
    ∴
    CN
    CD
    =
    GN
    AD
    ，又CD=4，AD=3，GN=FM=x，
    ∴CN=
    4
    3
    x，
    ∴CH=2CN=
    8
    3
    x，精英家教网
    ①当E与H重合时，则有BE+HC=2x+
    8
    3
    x=7，解得x=
    3
    2
    ；（4分）
    ②当E在BD上时，如图1，
    ∵EH=7-2x-
    8
    3
    x=7-
    14
    3
    x，
    ∴S四边形EFGH=
    1
    2
    （FG+EH）•FM=
    1
    2
    （-
    7
    3
    x+7+7-
    14
    3
    x）•x=-
    7
    2
    x2+7x（0＜x＜
    3
    2
    ）；（9分）
    当E在CD上时，如图2，
    ∵CE=7-2x，BH=7-
    8
    3
    x，
    ∴HE=7-（7-2x）-（7-
    8
    3
    x）=
    14
    3
    x-7，
    ∴S四边形EFGH=
    1
    2
    （FG+HE）•FM=
    1
    2
    （
    14
    3
    x-7+7-
    7
    3
    x）•x=
    7
    6
    x2（
    3
    2
    ＜x≤
    21
    8
    ）．（12分）
    点评：此题考查了相似三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，对称的性质，以及梯形的面积公式，这是一道相似条件与特征同时考查的综合性题，即在给定条件下探索出相似，再运用相似的特征解决问题，这类题由于所列函数关系式是面积函数，因此与梯形的底有密切的关系，所以要从已知条件下探索上底下底与x的关系成为解决问题的关键．相似时近几年中考的热点题型，因此解决这类问题时，应注意挖掘题中的隐含条件，注意数形结合、数学建模、分类讨论等数学思想的运用．
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