Question

点P为抛物线y=x²-2mx+m²（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．
（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；
（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；
（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根据m的值确定出原抛物线的解析式，进而可求得P、G的坐标，过P作PE⊥x轴于E，过Q作QF⊥x轴于F，根据旋转的性质知：△GQF≌△PGE，则QF=GE、PE=GF，可据此求得点Q的坐标．
（2）已知了Q点坐标，即可得到QF、FG的长，仿照（1）的方法可求出点P的坐标，然后代入原抛物线的解析式中，可求得a、b、m的关系式．
（3）延长QC到E，使得QC=CE，那么AQ=QE；由于OD、QE互相平分，即四边形OEDQ是平行四边形（或证△QCD≌△ECO），那么QD=OE=m，而AQ=QE，且QO平分∠AQC，易证得△AQO≌△EQO，则OA=OE=m，即A点坐标为（0，m），然后将点A的坐标代入（2）的关系式中，即可求得m的值．
解答：解：（1）当m=2时，y=（x-2）²，
则G（2，0），
∵点P的横坐标为4，且P在抛物线上，
∴将x=4代入抛物线解析式得：y=（4-2）²=4，
∴P（4，4），（1分）
如图，连接QG、PG，过点Q作QF⊥x轴于F，过点P作PE⊥x轴于E，
依题意，可得△GQF≌△PGE；
则FQ=EG=2，FG=EP=4，
∴FO=2．
∴Q（-2，2）．（2分）


（2）已知Q（a，b），则GE=QF=b，FG=m-a；
由（1）知：PE=FG=m-a，GE=QF=b，即P（m+b，m-a），
代入原抛物线的解析式中，得：m-a=（m+b）²-2m（m+b）+m²
m-a=m²+b²+2mb-2m²-2mb+m²
a=m-b²，
故用含m，b的代数式表示a：a=m-b²．（4分）

（3）如图，延长QC到点E，使CE=CQ，连接OE；
∵C为OD中点，
∴OC=CD，
∵∠ECO=∠QCD，
∴△ECO≌△QCD，
∴OE=DQ=m；（5分）
∵AQ=2QC，
∴AQ=QE，
∵QO平分∠AQC，
∴∠1=∠2，
∴△AQO≌△EQO，（6分）
∴AO=EO=m，
∴A（0，m），（7分）
∵A（0，m）在新的函数图象上，
∴0=m-m²
∴m₁=1，m₂=0（舍），
∴m=1．（8分）
点评：此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，难度较大．