Question

【题目】四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AE＝EC，BE＝ED，以 AD 为直径的半圆过点 E，圆心 为 O．

（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；

（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD＝6，求弧AE 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；

（2）先判断出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，进而得出∠CDA=30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠AED=90°，即有AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形；

（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC为等腰三角形，∴AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE．如图2，过点C作CG⊥AD，垂足为G，连接FO．∵BF切圆O于点F，∴OF⊥AD，且，易知，四边形CGOF为矩形，∴CG=OF=3．

在Rt△CDG中，CD=AD=6，sin∠ADC==，∴∠CDA=30°，∴∠ADE=15°．

连接OE，则∠AOE=2×∠ADE=30°，∴．