Question

13．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，如图①，根据切线的性质得∠OCP=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB=32°，则利用三角形外角性质可计算出∠POC，然后利用互余计算∠P的度数；
（Ⅱ）如图②，根据垂径定理的推论，由点E为AC的中点得到OD⊥AC，则利用三角形外角性质得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°，再根据圆周角定理得到∠C=$\frac{1}{2}$∠AOD=53°，然后利用三角形外角性质可计算出∠DPA的度数．

解答 解：（Ⅰ）连接OC，如图①，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=32°，
∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，
∴∠P=90°-∠POC=90°-64°=26°；

（Ⅱ）如图②，
∵点E为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠OEA=90°，
∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOD=53°，
∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．