Question

6．已知AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为点D．
（1）如图1，求证：CA平分∠PCD；
（2）如图2，作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，求证：AE=2CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，若sin∠P=$\frac{3}{5}$，CF=5，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用等角的余角相等证明，即证明∠PCA+∠OCA=90°以及∠ABC+∠OAC=90°由此可以解决问题．
（2）延长CD交圆O于点G，连接BC．结合欲证明AE=2CD，只需证得AM=CD，所以利用全等三角形：△ACD≌△CAM来证得结论；
（3）先证明FA=FC=5，在Rt△ADF中，根据sin∠FAD=$\frac{3}{5}$求出DF、AD，在Rt△COD中利用勾股定理求出半径，最后在RT△ABE中利用sin∠BAE=$\frac{3}{5}$求出BE即可．

解答 （1）证明：如图1，连接OC．
∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC．即CA平分∠PCD；

（2）证明：如图2，延长CD交圆O于点G，连接BC，连接CO交AE于点M．
∵AE∥PC，OC⊥PC，
∴∠PCA=∠CAF，AE⊥OC，
∴AM=EM．
∵AB⊥CG，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AG}$，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，即∠ACD=∠CAM．
∵在△ACD与△CAM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CAM}\\{AC=CA}\\{∠ADC=∠CMA=90°}\end{array}\right.$，
∴∠ACD=∠CAM（ASA），
∴CD=AM，
∴AE=2CD；

（3）解：如图3，延长CD交圆O于点G，连接BC．
由（2）知，∠ACF=∠CAF，
∴FA=FC，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，
∴FD=3，AD=4，CD=8，
在Rt△COD中，设CO=r，则有r²=（r-4）²+8²
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠EAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EB}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EB}{20}$=$\frac{3}{5}$，
∴EB=12．

点评 本题考查圆有关知识、全等三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，注意连接OC是圆中常用辅助线，熟练掌握垂径定理、切线的性质是解题的关键，属于中考压轴题．