Question

【题目】如图，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半抽上，点D是OA上的一点，OC=OD=4，OA=6，点B的坐标为（4，4）．动点E从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿线段CD向点D运动，过点E作BC的垂线EF交线段BC于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．设点E的运动时间为t秒（0≤t≤4）．

（1）点G的坐标为(　 　，　 　）（用含t的代数式表示）

（2）连接OE、BG，当t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？

（3）设点E从点C出发时，点E、F、G都与点C重合，点E在运动过程中，当△ABG 的面积为时，求点E运动的时间t的值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长　 　（即线段AG的长）．

Answer 1

【答案】（1）t，4﹣ t；（2）t=2或2 ﹣2（3）

【解析】分析：（1）依据△CDO和△CEF均为等腰直角三角形，CE=t，即可得到点G的坐标；

（2）依据∠OCE=∠BFG=45°，分两种情况进行讨论：①若△OCE∽△BFG，则，②若△ECO∽△BFG，则，分别求得t的值即可；

（3）过点G作GH∥x轴，交AB于H，根据直线AB的解析式为y=-2x+12，根据G（t，4-t），将y=4-t代入y=-2x+12，可得H（4+，4-t），再根据△ABG 的面积为，即可得到t的值，进而得到点G的坐标为（，），CG=．

详解：（1）由题可得，△CDO和△CEF均为等腰直角三角形，

∵CE=t，

∴CF=EF=t，

∴点G的横坐标为CF+EF=t+t=t，纵坐标为CO-EF=4-t，

∴G（t，4-t），

故答案为：t，4-t；

（2）∵CE=t，

∴EF=CF=t，FG=t，BF=4-t，

∵∠OCE=∠BFG=45°，

①若△OCE∽△BFG，则，

即，解得t=2；

②若△ECO∽△BFG，则，

即，解得t=2-2；

综上所述，当t=2或2-2时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似；

（3）如图，过点G作GH∥x轴，交AB于H，

设直线AB的解析式为y=kx+b，则

，解得，

∴y=-2x+12，

∵G（t，4-t），将y=4-t代入y=-2x+12，可得x=4+，

∴H（4+，4-t），

∴GH=|4+-t|，

∴S△ABG=GH×BD=|4+-t|×4=2|4-t|，

又∵△ABG 的面积为，

∴2|4-t|=，

解得t=或t=（舍去），

此时，点G的坐标为（，），CG=．

故答案为：．