Question

【题目】已知圆0的直径AB垂直于弦CD于点E，CG是圆O的切线交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD.

（1）试问：CG//AD吗？说明理由：

（2）证明：点E为OB的中点.

Answer 1

【答案】(1)平行，理由见解析（2）见解析.

【解析】

（1）根据切线的性质知CG⊥CF，再由已知条件CF⊥AD，可以根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行判定CG∥AD；

（2）连接AC构建等边三角形ACD，然后根据等边三角形的“三线合一”、三个内角都是60°的性质推知∠FCD＝30°；最后利用垂径定理和30°的直角边是斜边的一半求得OE＝OB，即点E为OB的中点.

（1）CG∥AD，理由如下：

∵CG是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，

∴CG⊥CF；

又∵CF⊥AD，

∴CG∥AD；

（2）如图（1），连接AC，

∵CF⊥AD，AE⊥CD，

且CF、AE过圆心O，

∴AC＝AD＝CD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠D＝60°，

∴∠FCD＝30°；

在Rt△COE中，OE＝OC，

∴OE＝OB，

∴点E为OB的中点.