Question

已知关于x的方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵a=，b=-（m-2），c=m²方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=b²-4ac=[-（m-2）]²-4××m²=-4m+4=0，
∴m=1．
原方程化为：x²+x+1=0 x²+4x+4=0，（x+2）²=0，
∴x₁=x₂=-2．

（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
∵x₁+x₂=-=4m-8，x₁x₂==4m²
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-2×4m²=8m²-64m+64=224，
即：8m²-64m-160=0，
解得：m₁=10，m₂=-2（不合题意，舍去），
又∵m₁=10时，△=-4m+4=-36＜0，此时方程无实数根，
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
分析：（1）方程有两相等的实数根，利用△=0求出m的值．化简原方程求得方程的根．
（2）利用根与系数的关系x₁+x₂=-=4m-8，x₁x₂==4m²，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入即可得到关于m的方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．
点评：总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
（4）△≥0时，根与系数的关系为：．