Question

14．先观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…
请用你发现的规律解答下面问题：
（1）填空：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=$\frac{2016}{2017}$；
（2）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$；
（3）如果将问题改为如下形式，你还会计算吗？
计算：$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×11}$．

Answer 1

分析 根据给定等式的变化即可找出变化规律“$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2，且n为整数）”．
（1）依此规律代入数据即可求出结论；
（2）依此规律代入数据即可求出结论；
（3）利用类推法即可找出$\frac{1}{1×4}$=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$）、$\frac{1}{4×7}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）、$\frac{1}{7×11}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{11}$），将其代入$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×11}$中即可得出结论．

解答 解：观察，发现：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，
∴$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2，且n为整数）．
（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$．
（3）∵$\frac{1}{1×4}$=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$），$\frac{1}{4×7}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$），$\frac{1}{7×11}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{11}$），
∴$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×11}$=$\frac{1}{3}$×[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{11}$）]=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{11}$）=$\frac{10}{33}$．

点评 本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中数的变化找出变化规律是解题的关键．