Question

(9分)如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角顶点P在对角线AC上移动，直角边PQ经过点D，另一直角边与射线BC交于点E.
⑴试判断PE与PD的大小关系，并证明你的结论；
⑵连接PB，试证明：△PBE为等腰三角形；
⑶设AP＝x，△PBE的面积为y，
①求出y关于x 函数关系式；
②当点P落在AC的何处时，△PBE的面积最大，此时最大值是多少？

Answer 1

证明：（1） 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.

∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形………1分 
∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°
又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°∴∠1=∠2………2分 
又PF=GD，∠PFE =∠PGD=90°
∴ Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA）.           
∴ PE=PD………3分                         
（2）∵AD=AB ∠PAB=∠PAD=45° AP=AP
∴△APB≌△APD （SAS）………4分   
∴PB=PD
∴PE=PB
∴△PBE为等腰三角形 ………6分   
（3）①∵AP=x
∴,………7分        
∴. 
即()………8分   
②.
∵，
∴当时,………9分     

略