Question

已知：点P（a+1，a-1）关于x轴的对称点在反比例函数y=-

8

x

（x＞0）的图象上，y关于x的函数y=k²x²-（2k+1）x+1的图象与坐标轴只有两个不同的交点A﹑B，求P点坐标和△PAB的面积．

Answer 1

分析：（1）由点P（a+1，a-1）关于x轴的对称点在反比例函数y=-

8

x

（x＞0）的图象上可知（a+1）（-a+1）=-8，求出a即得求P点坐标
（2）在y=k²x²-（2k+1）x+1中k可能为0（一次函数y=-x+1），也可能不为0（二次函数y=k²x²-（2k+1）x+1），根据题意，结合一次函数二次函数与坐标轴交点特点，易求点A、B坐标，即能求△PAB的面积

解答：解：（1）∵P点关于x轴的对称点为（a+1，-a+1），它在y=-

8

x

（x＞0）图象上，且在第四象限
∴（a+1）（-a+1）=-8，即a²=9
∴a=3（a=-3舍去）
∴P（4，2）（2分）

（2）当k=0时，y=-x+1，
设一次函数图象与x轴交于A，与y轴交于B，则A（1，0），B（0，1）
此时，S_△PAB=

1

2

×(1+2)×4-

1

2

×1×1-

1

2

×3×2=

5

2

（4分）
当k≠0时，函数y=k²x²-（2k+1）x+1的图象为抛物线，与y轴交于B（0，1）
∵它的图象与坐标轴只有两个交点
∴它的图象与x轴只有一个交点，设为A点
∴△=（2k+1）²-4k²=0
解得：k=-

1

4

（5分）
∴抛物线y=

1

16

x2-

1

2

x+1=

1

16

(x-4)2与x轴交于A（4，0）
∴此时，S△PAB=

1

2

×2×4=4
综合得：△PAB的面积为

5

2

或4．（7分）

点评：此题难度较大，考查一次函数、二次函数的图象和性质，还渗透分类讨论思想，综合性大．