【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A,B两点,与x轴交于点C(﹣2,0),点A的纵坐标为6,AC=3CB.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)请直接写出不等式组<kx+b<4的解集;
(3)点P(x,y)是直线y=k+b上的一个动点,且满足(2)中的不等式组,过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q,若△BPQ的面积记为S,求S的最大值.
【答案】(1)y=;(2)﹣3<x<0;(3)当m=﹣时,S取得最大值,最大值为.
【解析】
(1)作AD⊥x轴、BE⊥x轴,设CE=a,则CD=2+a,证△ACD∽△BCE得,即,据此求得a的值即可得出点A的坐标,从而得出反比例函数解析式;
(2)先利用待定系数法求出直线解析式,再结合函数图象可得答案;
(3)设P(m,2m+4)(-3<m<0),知PQ=-m,△BPQ在PQ边上的高为2m+6,根据三角形的面积公式得出S关于m的函数解析式,利用二次函数的性质求解可得.
(1)如图所示,过点A作AD⊥x轴于点D,作BE⊥x轴于点E,
则∠ADC=∠BEC=90°,
设CE=a,则CD=2+a,
∵∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE,
∴,即,
解得:BE=2,a=1,
∴A(1,6),
∴反比例函数解析式为y=;
(2)将A(1,6),C(﹣2,0)代入y=kx+b,
得:,
解得:,
∴直线解析式为y=2x+4,
又B(﹣3,﹣2),
∴不等式组<kx+b<4,即<2x+4<4的解集为﹣3<x<0;
(3)如图所示,
设P(m,2m+4)(﹣3<m<0),
则PQ=﹣m,△BPQ在PQ边上的高为2m+4﹣(﹣2)=2m+6,
∴S=(﹣m)(2m+6)=﹣m2﹣3m=﹣(m+)2+,
∵﹣3<m<0,且抛物线的开口向下,
∴当m=﹣时,S取得最大值,最大值为.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③<a<;④b>c.其中含所有正确结论的选项是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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【题目】如图,已知AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,AD=1,DC=,将△ADC绕着点D旋转,得△DEF,点A、C分别与点E、F对应,当EF与直线AB重合时,设AC与DF相交于点O,那么由线段OC、OF和弧CF围成的阴影部分的面积为_____.
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【题目】如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中,点A、B、C均在网格线的交点上,
(1)画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′;
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1;
(3)在(2)的条件下,求线段BC扫过的面积(结果保留π).
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C方向运动,当点M到达点C时停止运动,过点M作MN⊥AM交CD于点N,设点M的运动路程为x,CN=y,图2表示的是y与x的函数关系的大致图象,则矩形ABCD的面积是( )
A.20B.18C.10D.9
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【题目】如图,一直线经过原点O,且与反比例函数y=(k>0)相交于点A、点B,过点A作AC⊥y轴,垂足为C,连接BC.若△ABC面积为8,则k=_____.
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【题目】如图,已知在矩形ABCD中,AD=8,CD=4,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动.设点E移动的时间为t(秒).
(1)求当t为何值时,两点同时停止运动;
(2)设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)求当t为何值时,以E,F,C三点为顶点的三角形是等腰三角形;
(4)求当t为何值时,∠BEC=∠BFC.
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【题目】如图所示,城市在城市正东方向,现计划在两城市间修建一条高速铁路(即线段),经测量,森林保护区的中心在城市的北偏东方向上,在线段上距城市的处测得在北偏东方向上,已知森林保护区是以点为圆心,为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区,为什么?
(参考数据: )
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