Question

如图，△AGB中，以边AG、AB为边分别作正方形AEFG、正方形ABCD，线段EB和GD相交于点H，tan∠AGB=，点G、A、C在同一条直线上．
（1）求证：EB⊥GD；
（2）若∠ABE=15°，AG=，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形AEFG和四边形ACBD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，∠GAE=∠DAB=90°，
∴∠GAE+∠DAE=∠DAB+∠DAE，
∴∠GAD=∠EAB，
∵在△GAD和△EAB中

∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴∠AGD=∠AEB，
∵∠GAE=90°，
∴∠AGD+∠GMA=90°，
∵∠GMA=∠EMH，
∴∠AEB+∠EMH=90°，
∴∠EHM=180°-90°=90°，
∴BE⊥DG．

（2）解：连接BD交AC于O，则AC⊥BD，
∵，
设BO=3x，则GO=4x
∴GA=4x-3x=，
∴x=
∴OD=OB=3，OG=4，
∴GD=5，BD=6，
由①得△GAD≌△EAB，
∴BE=GD=5．
分析：（1）根据正方形性质得出AG=AE，AB=AD，∠GAE=∠DAB=90°，求出∠GAD=∠EAB，根据SAS证△GAD≌△EAB，推出∠AGD=∠AEB，根据∠GAE=90°求出∠AEB+∠EMH=90°，求出∠EHM=90°，根据垂直定义推出即可；
（2）连接BD交AC于O，则AC⊥BD，根据设BO=3x，则GO=4x根据GA=4x-3x=，求出x=求出GD=5，BD=6，根据△GAD≌△EAB得出BE=GD，代入求出即可．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．