Question

9．已知a²+b²+c²=m且a+b+c=$\sqrt{3m}$（m＞0），则求$\frac{a}{b}$+$\frac{3b}{c}$$+\frac{5c}{a}$的算术平方根．

Answer 1

分析 将a+b+c=$\sqrt{3m}$两边同时平方，然后利用完全平方公式展开，从而可得到a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=3m，得到2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0，从而可求得a=b=c，故此可得到$\frac{a}{b}$+$\frac{3b}{c}$$+\frac{5c}{a}$=9，然后利用平方根的性质求解即可．

解答 解：将a+b+c=$\sqrt{3m}$两边同时平方得：（a+b+c）²=3m，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=3m．
∴2ab+2bc+2ac=2m．
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0，即（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=0．
∴a=b=c．
∴$\frac{a}{b}$+$\frac{3b}{c}$$+\frac{5c}{a}$=9．
∴$\frac{a}{b}$+$\frac{3b}{c}$$+\frac{5c}{a}$的算术平方根为±3．

点评 本题主要考查的是实数的运算，求得a=b=c是解题的关键．