Question

如图所示，点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连结EF，BC⊥AD于点D，则下列结论中①DE=DF；②AE=AF；③∠ABD=∠ACD；④∠EDB=∠FDC，其中正确的序号是（　　）

• A、②
• B、①②
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，全等三角形对应角相等可得∠ADE=∠ADF，根据垂直的定义可得∠ADB=∠ADC=90°，然后求出∠EDB=∠FDC，再根据等角的余角相等可得∠ABD=∠ACD．

解答：解：∵点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，故①正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，故②正确；
∵BC⊥AD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF，
即∠EDB=∠FDC，故④正确；
∵∠ABD+∠EDB=90°，∠ACD+∠FDC=90°，
∴∠ABD=∠ACD，故③正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故选D．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．