Question

14．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为垂直，数量关系为相等．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，请证明？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？直接写出条件，不需要证明．
（3）若AC=4$\sqrt{2}$，BC=3，在（2）的条件下，求△ABC中AB边上的高．

Answer 1

分析 （1）①由四边形ADEF是正方形与AB=AC，∠BAC=90°，易证得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性质，可证得CF=BD，继而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
②由四边形ADEF是正方形与AB=AC，∠BAC=90°，易证得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性质，可证得CF=BD，继而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．
（3）如图4，作辅助线，构建等腰直角三角形，说明△ABC是钝角三角形，求AQ、BQ、AB的长，用面积法求出AB上的高为$\frac{12\sqrt{17}}{17}$．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
故答案为：垂直，相等；

②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．
如图2，由正方形ADEF得：AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC．
∴∠DAB=∠FAC．
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC（SAS）．
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即 CF⊥BD．  

（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD；
理由如下：
如图3，过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G，
∵∠ACB=45°，
∴△AGC等腰直角三角形，
∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°，
∵AG=AC，AD=AF，
∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC，
∴∠GAD=∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠AGD=45°，
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°，
∴CF⊥BC；           

（3）当具备∠BCA=45°，AC=4$\sqrt{2}$，BC=3时，
如图4，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
∵∠BCA=45°，
∴AQ=CQ=4．
∴△ABC为钝角三角形，
∴BQ=1，
由勾股定理得：则AB=$\sqrt{A{Q}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
设AB边上的高为h，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$BC•AQ，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{17}$h=$\frac{1}{2}$×3×4，
∴h=$\frac{12\sqrt{17}}{17}$，
答：△ABC中AB边上的高为$\frac{12\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，第2问过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G构造全等三角形是解题的关键；运用了类比的方法，利用三角形全等解决问题．