Question

已知：等边△ABC中，AB、cosB是关于x的方程x²-4mx-

1

2

x+m²=0的两个实数根．若D、E分别是BC、AC上的点，且∠ADE=60°，设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并说明当点D运动到什么位置时，y有最小值，并求出y的最小值．

Answer 1

分析：本题可先根据cosB的值求出AB的长，然后通过证△ABD和△DCE相似，得出关于AB，CD，BD，CE的比例关系式，即可得出关于y，x的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出y的最小值．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴cosB=cos60°=

1

2

，
∴

AB+ 1 2 =4m+ 1 2 1 2 AB=m2

，
解得：m₁=0，m₂=2，
∵

1

2

AB=m²≠0，
∵m=0不合题意，舍去；
∴m=2即AB=8，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
又∠ADB+∠BAD=180°-∠B=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

DC

=

BD

CE

，
设BD=x，EA=y则DC=8-x，CE=8-y，
∴

8

8-x

=

x

8-y

，
∴y=

1

8

x²-x+8=

1

8

（x-4）²+6．
∴当BD=4，即D为BC的中点时，EA有最小值6．

点评：本题考查了韦达定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质及二次函数的综合应用等知识点．
通过相似三角形得出与所求线段相关的比例关系式是解题的关键．