【题目】点P是半径为4的⊙O外一点,PA是⊙O的切线,切点为A,且PA=4,在⊙O内作长为4的弦AB,连接PB,则PB的长为_____.
【答案】4或4.
【解析】
分两种情况进行讨论:(1)弦AB在⊙O的同旁,可以根据已知条件证明△POA≌△POB,然后即可求出PA;
(2)弦AB在⊙O的两旁,此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形,然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出PA.
解:连接OA,
(1)如图1,当弦AB与PA在O的同旁时,
∵PA=AO=4,PA是⊙的切线,
∴∠AOP=45°,
∵OA=OB,
∴∠BOP=∠AOP=45°,
而OP=OP,
∴△POA≌△POB(SAS),
∴PB=PA=4;
(2)如图2,当弦AB与PA在O的两旁,连接OA,OB,
∵PA是⊙O的切线,
∴OA⊥PA,
而PA=AO=4,
∴OP=4;
∵AB=4,
而OA=OB=4,
∴AO⊥BO,
∴PABO是平行四边形,
∴PB,AO互相平分;
设AO交PB与点C,
即OC=2,
∴BC=,
∴PB=4.
故答案为:4或4.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数y=x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过l1上的点A1(1,)作x轴的垂线交l2于点A2,过点A2作y轴的垂线交l1于点A3,过点A3作x轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2019的横坐标为_____.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,与x轴的一个交点在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则下列结论:①abc<0;②2a﹣b=0;③a+b+c<0;④4ac﹣b2<0;其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】在平面直角坐标系中,直线经过点,与y轴交于点B,与抛物线的对称轴交于点.
(1)求m的值;
(2)求抛物线的顶点坐标;
(3)是线段AB上一动点,过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点,(点P在点Q的左侧).若恒成立,结合函数的图象,求a的取值范围.
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【题目】甲车从地出发匀速驶向地,到达地后,立即按原路原速返回地;乙车从地出发沿相同路线匀速驶向地,出发小时后,乙车因故障在途中停车小时,然后继续按原速驶向地,乙车在行驶过程中的速度是千米/时,甲车比乙车早小时到达地,两车距各自出发地的路程千米与甲车行驶时间小时之间的函数关系如图所示,请结合图象信息解答下列问题:
(1)写出甲车行驶的速度,并直接写出图中括号内正确的数__ __
(2)求甲车从地返回地的过程中,与的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围).
(3)直接写出甲车出发多少小时,两车恰好相距千米.
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【题目】已知锐角△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,连接AO.
(1)如图1,求证:∠BAO=∠CAD;
(2)如图2,CE⊥AB于点E,交AD于点F,过点O作OH⊥BC于点H,求证:AF=2OH;
(3)如图3,在(2)的条件下,若AF=AO,tan∠BAO=,BC=,求AC的长.
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【题目】如图△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,S、Q两点同时分别从A、C出发,点S以每秒2个单位的速度沿着AC向点C运动,点Q以每秒1个单位的速度沿着CB向点B运动.当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动
(1)求几秒时SQ的长为2
(2)求几秒时,△SQC的面积最大,最大值是多少?
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【题目】一个斜抛物体的水平运动距离为x(m),对应的高度记为h(m),且满足h=ax2+bx﹣2a(其中a≠0).已知当x=0时,h=2;当x=10时,h=2.
(1)求h关于x的函数表达式;
(2)求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.
(1)求线段CE的长;
(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且∠DMN=∠DAM,设AM=x,DN=y.
①写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;
②是否存在这样的点M,使△DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
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