Question

12．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AB=AD，DE⊥BC于E，点F为AB上一点，且AF=EC，点M为FC的中点，连结FD、DC、ME，设FC与DE相交于点N，下列结论：
①∠FDB=∠FCB； ②△DFN∽△DBC；③FB=$\sqrt{2}$ME； ④ME垂直平分BD．
其中正确结论的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由题意可得四边形ABED是正方形，易证得△ADF≌△EDC，继而可得∠FDC=90°，则可得F，B，C，D四点共圆，利用圆周角定理，可得①正确；
由圆周角定理可得∠DFN=∠CBD，又由同角的余角相等，证得∠FDN=∠BCD，可证得△DFN∽△DBC；②正确
连接BM，DM，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DM=BM，然后利用线段垂直平分线的判定方法，证得ME垂直平分BD；④正确
则可得∠MEB=45°，利用三角形中位线的性质与等腰直角三角形的性质，即可求得FB=$\sqrt{2}$ME③正确．

解答 解：∵直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，DE⊥BC，
∴∠ABC=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABED是正方形，
∴AD=DE，
在△ADF和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠A=∠DEC}\\{AF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴∠ADF=∠EDC，
∵∠ADF+∠FDE=90°，
∴∠FDC=∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠FDC+∠FBC=180°，
∴F，B，C，D四点共圆，
∴∠FDB=∠FCB，
故①正确；
∴∠DFN=∠DBC，
∵∠FDE+∠EDC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠FDE=∠ECD，
即∠FDN=∠BCD，
∴△DFN∽△DBC，
故②正确；
连接BM，DM，
∵∠FBC=∠FDC=90°，点M为FC的中点，
∴BM=DM=$\frac{1}{2}$BC，
∴M在BD的垂直平分线上，
∵ED=BE，
∴E在BD的垂直平分线上，
∴ME垂直平分BD；
故④正确；
过点M作MH⊥BC于M，
则MH∥AB，
∵M在BD的垂直平分线上，
∴MH是△CBF的中位线，
∴FB=2MH，
∵ME垂直平分BD，
∴∠MEH=$\frac{1}{2}$∠BED=45°，
∴MH=ME•sin∠MEH=ME•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ME，
∴FB=$\sqrt{2}$ME．
故③正确．
故选D．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、圆周角定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．