Question

已知Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，sinA、sinB是方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两根．
（1）求m的值；
（2）求Rt△ABC的内切圆的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）隐含的关系式为sinA²+sinB²=1应把所给式子整理为一元二次方程的一般形式．然后得到sinA、sinB和方程的关系，进而求解．
（2）直角三角形的内切圆半径=（a+b-c）÷2，进而求得内切圆的面积．
解答：解：（1）整理方程得：
（m+5）x²+（5-2m）x+12=0
∵sinA²+sinB²=1，
∴（sinA+sinB）²-2sinAsinB=1．
-2×-1=0
解得m=20或m=-2，
当m=-2时，两根均为负值，不合题意，舍去．
故m=20．

（2）当m=20时，解原方程得：
sinA=或，
∵AB=10，
∴其他两边之和为6+8
∴内切圆的面积=π[（6+8-10）÷2]²=4π．
点评：主要考查了根与系数的关系．注意隐含条件的运用，以及所求值的取舍．