Question

13．如图：在⊙O中，AB是直径，CD是弦，$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，过点A、B两点分别作CD的垂线，垂足分别是点E、F．连接OE，OF，求证：△OEF是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 连接AD、BD、OD，由垂径定理得出AD=BD，OD⊥AB，由AAS证明△AED≌△DFB，得出AE=DF，∠DAE=∠BDF，由SAS证明△OAE≌△ODF，得出OE=OF，∠AOE=∠DOF，即可得出结论．

解答 解：连接AD、BD、OD，如图所示：
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∵BF⊥CD，AE⊥CD，
∴∠BFD=∠AED=90°，
∴∠DBF+∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠DBF，
在△AED和△DFB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFD}&{\;}\\{ADE=∠DBF}&{\;}\\{AD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFB（AAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠BDF，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD⊥AB，
∴∠BOD=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=45°，
∴∠EAO=∠FDO，
在△OAE和△ODF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}&{\;}\\{∠EAO=∠FDO}&{\;}\\{OA=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△ODF（SAS），
∴OE=OF，∠AOE=∠DOF，
∵∠AOD=90°，
∴∠EOF=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．